A transformada Z

A transformada de Laplace é a generalização da transformada de Fourier para sistemas de tempo contínuo.
Ou seja, a Transformada de Fourier de tempo contínuo é um caso particular da Transformada de Laplace, onde o $$s$$ de Laplace é:
$$s = jw $$.

O termo digital, de Processamento Digital de Sinais, nos diz que estamos trabalhando com tempo discreto, pois computadores, e máquinas digitais de uma maneira geral, trabalham com bits. Ou seja, é tudo discreto.

E como há sempre uma relação direta entre sistemas de tempo contínuo e discreto, também há uma generalização da Transformada de Fourier para tempo discreto, que é conhecida é a Transformada Z, objetivo de estudo desse artigo.

A Transformada Z no Processamento Digital de Sinais

A definição da Transformada Z

Seja uma sequência discreta representada por: $$ x(n) $$
Sua transformada-z é representada por: $$ X(z) $$
Onde a letra z se refere a representação de um número complexo:$$ z = x +ij $$

Sabendo disso, a fórmula matemática da Transformada Z é dada por:
$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) z^{-n}$$

Essa é a chamada Transformada Z bilateral, ou bidirecional, pois varia de $$ -\infty $$ até $$ \infty $$.
Caso ele iniciasse em 0, seria chamada de Transformada Z unilateral:
$$ X(z) = \sum_{n=0}^\infty x(n) z^{-n}$$

A Transformada Z como caso especial de Transformada de Fourier

Do estudo dos números complexos, sabemos que: $$ z = re^{jw}$$
Vamos substituir essa relação na definição de Transformada Z.
Obtemos
$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) (re^{jw})^{-n}$$
$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) r^{-n}e^{-jwn}$$

Notou semelhança? Não?
E se fizermos: $$|z|=1$$
Ou seja:
$$r=1 $$
$$|e^{jw}|=1$$

A Transformada Z ficaria:
$$ X(e^{jw}) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-jwn}$$
que é a nossa conhecida Transformada de Fourier.

Logo, a Transformada de Fourier é a Transformada Z quando: $$|z| = 1$$

A convergência da Transformada Z

Como, a Transformada Z nada mais é que uma soma. Obviamente, se essa soma for um número que tendo ao infinito, em nada nos serve ter esse X(z), pois não podemos trabalhar, na prática, com números que tendem ao valor infinito.
Portanto, é de vital importância que a soma da série seja convergente, que seja absolutamente somável. Ou seja, ela tem que resultar em um número, um valor.

Para termos certeza da convergência da série, precisamos garantir que o resultado do somatório não tende ao infinito. E para garantir isso, precisamos ter certeza que cada elemento da soma não tende ao infinito.

Logo, para que a Transformada Z seja convergente, devemos ter:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty |x(n) r^{-n}e^{-jwn}| < \infty$$

Como:
$$|e^{-jwn}| = 1 $$

Chegamos na equação da convergência da transformada:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty |x(n) r^{-n}| < \infty$$