Relembrando do 2o grau, o período de uma função é o menor número positivo T tal que:
x(t) = x(t + T)
Já a frequência associada a um tempo $$ t $$ é dada por:
$$ \omega = 2 \pi /t $$
Vamos usar o exemplo mais simples de equação exponencial periódica:
$$ x(t) = e^{i \omega_0 t} $$
Esse $$\omega_0$$ significa frequência fundamental. É a frequência associada ao período $$ T $$ :
$$ \omega = 2 \pi /T $$
Agora analisemos o sinal: (*)
$$ s(t) = e^{i \,n \omega_0 \, t} , para n = 0, \pm 1 , \pm 2, \pm 3 ... $$
Vamos pegar a parte exponencial e ver melhor:
$$ e^{i \,n \, \omega_0 t} = e^{i \,n 2 \pi /T \, t} = e^{i \, 2 \pi /(T/n) \, t} $$
Note que nesse sinal, para cada valor de $$ n $$, o sinal vai ter uma frequência múltipla de $$ \omega_0 $$ .
Ou seja, são todos possuem período $$ T $$ também, pois os sinais terão período dado por $$ (T/n) $$ , e $$ T $$ é múltiplo de $$ (T/n) $$ .
A esse conjunto de sinais, definido pela equação (*), dizemos que são um conjunto harmonicamente relacionado, e usaremos bastante em nosso estudo de séries de Fourier.
Nesse conjunto de equações, que formam o sinal, para:
$$ n = \pm 1 $$, dizemos se tratar do primeiro harmônico ou fundamentais
$$ n = \pm 2 $$, dizemos se tratar do segundo harmônico.
e assim sucessivamente.
Sabendo de período, harmônico e conjunto de equações harmonicamente relacionadas, podemos apresentar a tão famosa série de Fourier.
A série de Fourier
Definimos como série de Fourier uma combinação linear desse conjunto de equações harmonicamente relacionadas, e representaremos da forma:
$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$
Ou seja, qualquer função periódica (como as trigonométricas) pode ser representada dessa forma.
Podemos dizer então, que uma função, como seno e cosseno, é uma combinação linear de exponenciais.
A genialidade por trás da série é que ela nos permite ver algumas funções e sinais, como de uma tangente por exemplo, de uma maneira diferente: através de exponenciais, e estas permitem um algebrismo mais fácil além de outras características que serão detalhadas em breve.
Por hora, precisamos focar em outro detalhe: descobrir os índices $$ a_n $$ , que são chamados de coeficientes da série de Fourier.
Para isso, multiplicaremos ambos os lados por $$ e^{-j k \omega_0 t} $$ e integrando ambos os lados no intervalo de um período.
Para resolver a integral, basta transformar a exponencial para a forma trigonométrica e integrar, que teremos o par de equações que define a serie de Fourier:
$$\begin{cases}
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t} \\
a_n = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt
\end{cases} $$
Para isso, multiplicaremos ambos os lados por $$ e^{-j k \omega_0 t} $$ e integrando ambos os lados no intervalo de um período.
Para resolver a integral, basta transformar a exponencial para a forma trigonométrica e integrar, que teremos o par de equações que define a serie de Fourier:
$$\begin{cases}
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t} \\
a_n = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt
\end{cases} $$
O coeficiente $$a_0$$ tem um valor especial, constante, dado por:
$$ a_0 = \frac{1}{T} \int_T x(t) dt $$
e é chamado de nível dc e $$a_0$$ é o valor médio de x(t).
A série de Fourier não é apenas mais uma representação do sinal periódico. Se ela é tão famosa e usada, devem existir razões, além da facilidade do algebrismo e análise gráfico do sinais.
É fácil encontrar na literatura, como no Oppenheim, a demonstração que os coeficiente da série de Fourier em uma combinação linear finita são os que minimizam o erro.
O que isso quer dizer?
Obviamente que não vamos representar um sinal com infinitos coeficientes (se existirem, muitas vezes boa parte deles são nulos). Então é comum representar o sinal usando somente alguns coeficientes.
O que é possível demonstrar é que, quanto mais coeficientes da série de Fourier nós utilizarmos, mais perfeita e mais próxima nossa representação é do sinal real.
- Exemplos
Vamos representar o sinal função: $$ f(x) = x $$
Em intervalos de valor $$2 \pi $$ :
+=+x+.png)
A medida que formos adicionando mais coeficientes da série de Fourier, mais nosso sinal (em vermelho) irá se aproximar da função real, veja:
+=+x+.gif)
O site do MIT fez um aplicativo em Java que mostra esse efeito:
http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.06/javademo/FourierSeries/
Você coloca a equação e escolhe o número de termos da série de Fourier que desejar, e vai ver a aproximação desenhada em cima da função real.
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