A transformada Z

A transformada de Laplace é a generalização da transformada de Fourier para sistemas de tempo contínuo.
Ou seja, a Transformada de Fourier de tempo contínuo é um caso particular da Transformada de Laplace, onde o $$s$$ de Laplace é:
$$s = jw $$.

O termo digital, de Processamento Digital de Sinais, nos diz que estamos trabalhando com tempo discreto, pois computadores, e máquinas digitais de uma maneira geral, trabalham com bits. Ou seja, é tudo discreto.

E como há sempre uma relação direta entre sistemas de tempo contínuo e discreto, também há uma generalização da Transformada de Fourier para tempo discreto, que é conhecida é a Transformada Z, objetivo de estudo desse artigo.

A Transformada Z no Processamento Digital de Sinais

A definição da Transformada Z

Seja uma sequência discreta representada por: $$ x(n) $$
Sua transformada-z é representada por: $$ X(z) $$
Onde a letra z se refere a representação de um número complexo:$$ z = x +ij $$

Sabendo disso, a fórmula matemática da Transformada Z é dada por:
$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) z^{-n}$$

Essa é a chamada Transformada Z bilateral, ou bidirecional, pois varia de $$ -\infty $$ até $$ \infty $$.
Caso ele iniciasse em 0, seria chamada de Transformada Z unilateral:
$$ X(z) = \sum_{n=0}^\infty x(n) z^{-n}$$

A Transformada Z como caso especial de Transformada de Fourier

Do estudo dos números complexos, sabemos que: $$ z = re^{jw}$$
Vamos substituir essa relação na definição de Transformada Z.
Obtemos
$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) (re^{jw})^{-n}$$
$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) r^{-n}e^{-jwn}$$

Notou semelhança? Não?
E se fizermos: $$|z|=1$$
Ou seja:
$$r=1 $$
$$|e^{jw}|=1$$

A Transformada Z ficaria:
$$ X(e^{jw}) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-jwn}$$
que é a nossa conhecida Transformada de Fourier.

Logo, a Transformada de Fourier é a Transformada Z quando: $$|z| = 1$$

A convergência da Transformada Z

Como, a Transformada Z nada mais é que uma soma. Obviamente, se essa soma for um número que tendo ao infinito, em nada nos serve ter esse X(z), pois não podemos trabalhar, na prática, com números que tendem ao valor infinito.
Portanto, é de vital importância que a soma da série seja convergente, que seja absolutamente somável. Ou seja, ela tem que resultar em um número, um valor.

Para termos certeza da convergência da série, precisamos garantir que o resultado do somatório não tende ao infinito. E para garantir isso, precisamos ter certeza que cada elemento da soma não tende ao infinito.

Logo, para que a Transformada Z seja convergente, devemos ter:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty |x(n) r^{-n}e^{-jwn}| < \infty$$

Como:
$$|e^{-jwn}| = 1 $$

Chegamos na equação da convergência da transformada:
$$\sum_{n=-\infty}^\infty |x(n) r^{-n}| < \infty$$

Transformada de Fourier de tempo contínuo - Representando sinais aperiódicos

Vimos, até o presente momento, sobre os sinais peridódicos, como os sinais trigonométricos e suas representações usando exponenciais complexas.
A importância deles dispensa comentários. Porém, não são os únicos.

Periodicidade nos remete a 'perfeição', é algo mais teórico. Na natureza mesmo, a maioria dos sinais são aperiódicos. E como tais, devem ser estudados e analisados.

Esta seção, sobre A Transformada de Fourier, visa fazer isso: manusear matemáticamente os sinais para obter uma série de propriedades e resultados desejados.



- Introdução e definição

Para representar os sinais periódicos, usamos exponenciais complexas harmonicamente relacionadas, através de uma combinação linear dessas frequências.
Nos sinais aperiódicos, que veremos agora, a idéia é semelhante, porém os harmônicos estão infinitesalmente próximos, e a soma (combinação linear) se torna uma integral.

A Transformada de Fourier nos mostra, portanto, esse espectro de harmônicos, enquanto a Transformada inversa de Fourier nos diz os coeficientes do sinal, em forma de combinação linear das exponenciais.

A série de Fourier: Sinais Periódicos de Tempo Discreto

Vamos ver agora como se comporta a representação dos sinais periódicos que são discretos, quando o representamos na série de Fourier, suas principais características e as diferenças e semelhanças em relação aos sinais de tempo contínuo.

Definição da série de Fourier para sinais de tempo discreto e periódicos

Analogamente ao sinal contínuo, o sinal periódico de tempo discreto S[n] é aquele tal que:

$$S[n] = S[n + N] $$

Quando N é um inteiro positivo e é o menor valor que satisfaz a equação acima, dizemos que N é o período de S[n] ou número de amostra, e a frequência fundamental do sinal é dada por:

$$\omega_0 = \frac{2\pi}{N} $$

Logo, podemos representar toda a gama de sinais que são periódicos de período N e que tem frequências dada por: 

$$\omega_k = \frac{2k\pi}{N} $$

Fazendo uma análise matemática dessa expressão é possível notar que os valores da frequência vão se repetir. Na verdade, só temos N valores distintos de frequência possíveis, devido ao fato do período ser sempre um inteiro.

Um fato importante, em relação aos sinais de tempo contínuo, é que o sinais de tempo discreto são representados por uma série finita, pois só existem um número finito de frequências.

Fazendo a manipulação algébrica através do somatório de todos os sinais harmônicos, chegamos a série de Fourier para sinais periódicos de tempo discreto:

$$ S[n] = \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} a_k e^{jkw_0N}$$
$$ a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=\left \langle N \right \rangle}x[n] e^{-jkw_0n} $$

Ou seja, aqui, temos que escolher um intervalo qualquer de N valores consecutivos para representarmos um sinal sob a forma de série de Fourier e para descobrir os coeficientes da série.

Propriedades da série de Fourier em sinais de tempo contínuo

Mostraremos aqui algumas propriedades que podem, e devem ser usadas, nas séries de Fourier onde o tempo é contínuo, pois evitam trabalho e cálculos desnecessários, visto que podemos simplificar e fazer algumas deduções.

Propriedade da Linearidade

Sejam:
$$A(x)$$ e $$B(x)$$
dois sinais periódicos de tempo $$T$$, cujos coeficientes da série de Fourier são
$$a_n$$ e $$b_n$$ .

Se o sinal:
$$C(x)$$
é dador por uma combinação linear dos sinais A(x) e B(x):
$$C(x) = k_1 A(x) + k_2 B(x) $$ , onde $$k_1$$ e $$k_2$$ são constantes
, os coeficientes da série de Fourier também o serão.

Isso quer dizer que, sejam:
$$c_n$$
os coeficientes da série de Fourier do sinal de C(x), eles podem ser representados por:

$$c_n = k_1 a_n + k_2 b_n $$

Propriedade da reflexividade do tempo

Refletir o tempo é fazer com que o tempo 't' receba os valores '-t'. É como se rebatéssemos o gráfico em relação ao eixo y.

Sabemos que a definição da série de Fourier é dada por:

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Vamos ver o que acontece com o sinal quando ocorre a reflexão no tempo:

$$ x(-t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{-i \,n \omega_0 \, t}$$

Vamos chamar esse novo sinal, x(-t), de y(t) e '-n'  de 'k', para que y(t) fique na forma da série de Fourier:

$$ y(t)= \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k} e^{i \,k \omega_0 \, t}$$

Ou seja, quando refletimos o tempo refletimos também os índices.

Assim, se o sinal S(x) possui índices $$a_n$$
O sinal S(-x) terá índices $$a_{-n}$$

Isso é interessante. Mas importante mesmo é a relação com a paridade.
Se o sinal for par, ou seja:
$$ x(t) = x(-t) $$
$$ a_n = a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão pares!

E caso o sinal seja ímpar:
$$ x(t) = -x(-t) $$
$$ a_n = -a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão ímpares!

E qual a utilidade disto?
Ora, se souber $$a_n$$ , saberá $$a_{-n}$$ e não terá que fazer cálculos desses índices separados, à toa.
Portanto, antes de calcular os índices da série de Fourier para tempo contínuo, verifique a propriedade de reflexão no tempo. Assim, saberá a paridade dos coeficientes da série .

Deslocamento de tempo

Seja A(t) um sinal dado em função do tempo.
Deslocar o sinal em um valor de tempo $$t_0$$ significa analisar o seguinte sinal resultante:
$$A(t - t_0)$$

Se os coeficientes da série de Fourier do sinal A(t) são dados por:
$$ a_n = \frac{1}{T} \int_T A(t) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt$$

Então os coeficientes da série do sinal $$A(t - t_0)$$ serão dados por:
$$ a'_n = \frac{1}{T} \int_T A(t - t_0) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt$$

Como é possível notar pela fórmula acima, embora tenhamos deslocado o sinal, seu período continua sendo T.
O que faz sentido. Veja 'deslocamento' como um deslocamento físico mesmo. É como se você pegasse o sinal da função e simplesmente colocasse ele em outro local do plano cartesiano.
Vendo assim, é fácil ver a razão do período continuar sendo o mesmo.

Fazendo a substituição:
$$y = t - t_0$$

Isolando 't' e integrando em relação à y, chegamos a :
$$ a'_n = e^{-i \,n \omega_0 \, t_0} a_n$$

Ou seja, quando deslocamos um sinal de um tempo $$t_0$$
Estamos alterando seus coeficientes de um fator: $$e^{-i \,n \omega_0 \, t_0}$$
Note, porém, que esse fato tem módulo unitário.

Logo, deslocar um sinal no tempo não irá alterar o módulo dos coeficientes da série de Fourier.

Propriedade da série de Fourier: alterando a escala do tempo do sinal em um fator

Seja o sinal A(t) e um número positivo real k que será o fator.

Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:

$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Ao alterarmos a escala do tempo em um fator k, A(kt) , também alteramos seu período, que agora é: 

$$\frac{T}{k}$$

Como a frequência fundamental é dada por:

$$ w_0 = \frac{2\pi}{T}$$

A nova frequência será:

$$w = \frac{2\pi}{\frac{T}{k}} = k w_0$$

Então, o novo sinal da série de Fourier será dado por:

$$ A(kt) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n k\omega_0 \, t}$$

Ou seja, os coeficientes $$a_n$$ permanecem inalterados. Porém a frequência do sinal mudou.

Aplicando o conjugado complexo

Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:

$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Aplicando o conjugado em ambos lados:

$$ A^{*}(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n^* e^{-i \,n \omega_0 \, t}$$

Fazendo:
$$k=-n$$

Temos:
$$ A^{*}(t) = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k}^* e^{i \,k \omega_0 \, t}$$

Logo, quando aplicamos o conjugado em uma série de Fourier, estamos aplicando o complexo conjugado em seus coeficientes e estamos também aplicando a propriedade da reflexão.

Caso o sinal seja real:
$$A(t) = A^*(t)$$
Então:
$$a_n=a^*_{-n}$$
$$a^*_n = a_{-n}$$
Chamamos essa última relação de simetria conjugada.


Com base nisso e na propriedade da reflexividade, é fácil mostrar que:

Caso o sinal seja real e par, os coeficientes da série de Fourier são reais e pares:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal par: $$ a_n = a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são reais: $$a_n = a^*_n $$



Caso o sinal seja real e ímpar, os coeficientes da série de Fourier são ímpares e imaginários:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal ímpar: $$ a_n = - a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são puramente imaginários: $$a_n = - a^*_n $$


Note também que, em qualquer dos casos, o módulo do coeficientes da série de Fourier permanecem inalterados quando aplicamos a propriedade da simetria conjugada.

Produto de Sinais

Sejam dois sinais de tempo contínuo, de mesmo período T: $$A(t)$$ e $$B(t)$$

com coeficientes da série de Fourier dados, respectivamente, por: $$a_n$$ e $$b_n$$

O n-ésimo coeficiente do produto: $$A(t) . B(t) $$ , que também possui período T, é dado por:

$$c_n = \sum_{k=-\infty}^{k=\infty} a_k . b_{n -k} $$

Essa relação não só parece como pode ser vista como uma soma de convolução discreta dos coeficientes das sequências de Fourier que representam sinais.

Outra forma de obter essa relação é simplesmente multiplicando as representações dos sinais A(t) e B(t) sob a forma de série de Fourier e rearranjando e agrupando seus termos.

A relação de Parseval

A relação de Parseval é famosa, e muito útil, porque relaciona diretamente o sinal com seus coeficientes e é obtida através do cálculo da potência média de um intervalo de período do sinal, resultando na expressão de Parseval:

$$ \frac{1}{T} \int_T \left\vert A(t) \right\vert^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} \left\vert a_n \right\vert^2$$

Onde A(t) é o sinal de tempo contínuo de período T, de coeficientes da série de Fourier $$a_n$$.
Um detalhe importante e que torna a equação de Parseval bem abrangente é o fato que ela é válida para qualquer sinal periódico, visto que expressão foi obtida pelo cálculo da potência média de um sinal periódico qualquer.

Condições de Dirichlet | Séries de Fourier

Nem toda função periódica pode ser representada pela série de Fourier.
O rigor matemático impõe algumas condições e critérios para que possamos usar a tão famosa e útil série, e nem mesmo o próprio Fourier foi capaz de desenvolver as condições em que as séries eram válidas.

Houveram muitas discussões, principalmente envolvendo a questão das descontinuidades.
Mas coube ao matemático alemão Dirichlet a formalização das condições:



Primeira condição:
"O sinal deve ser absolutamente integrável". 

Isto é, se o sinal é s(t):
Então a integral
$$\int_T |s(t)| dt $$
deve existir.

Se tal integral, que representa o sinal, deve existir, é fácil concluir que os coeficientes que representam a série de Fourier também devem.
Trocando em miúdos: tanto a integral como os coeficientes não tendem ao infinito.

Segunda condição:
Em um intervalo qualquer sinal, não deve existir infinitos pontos de máximo e mínimo.

Por exemplo, funções trigonométricas do tipo:
$$ \sin{(k/t)} $$
Para k inteiro, no intervalo t de ente 0 e 1. Pois nesse intervalo a função varia entre infinitos valores de máximo e mínimo e não há como representar tal função usando os coeficientes da série de Fourier.
Veja como a função se comporta quando se aproxima de 0, para:
$$ f(t) = \sin{(\pi/t)} $$

Veja como se faz no Wolfram Alpha: www.wolframalpha.com/input/?i=sin(pi/t),+from+t=0+to+1


Terceira Condição:
"Em um intervalo finito qualquer do sinal, não devem existir infinitas descontinuidades."

Funções desse tipo não são 'normais' na natureza. São, geralmente, casos de estudo teórico e é intuitivo entender o motivo de função com infinitas descontinuações (ou seja, saltos no gráfico, sem motivos aparente) não serem possíveis de serem representadas pela série de Fourier.
Embora seja possível utilizar a série de Fourier em sinais com número finito de descontinuidade, não é possível em sinais mais 'aleatórios', com infinitos casos de singularidades.
Essa incerteza no cálculo de descontinuidades infinitas se deve ao fato de que a equação da série de Fourier tende para a média dos valores na borda da descontinuidade, não sendo possível garantir tal convergência em casos de infinitas descontinuidades.

Definindo série de Fourier: Sinais Periódicos de Tempo Contínuo | Séries de Fourier

Nesse artigo definimos a série de Fourier e o motivo dela ser usada para representar sinais periódicos de tempo contínuo. Além de mostrar sua utilidade e onde é empregada.

Relembrando do 2o grau, o período de uma função é o menor número positivo T tal que:
x(t) = x(t + T)

Já a frequência associada a um tempo $$ t $$ é dada por:
$$ \omega = 2 \pi /t $$

Vamos usar o exemplo mais simples de equação exponencial periódica:
$$ x(t) = e^{i \omega_0 t} $$

Esse $$\omega_0$$ significa frequência fundamental. É a frequência associada ao período $$ T $$ :
$$ \omega = 2 \pi /T $$

Agora analisemos o sinal:  (*)
$$ s(t) = e^{i \,n \omega_0 \, t} , para n = 0, \pm 1 , \pm 2, \pm 3 ... $$

Vamos pegar a parte exponencial e ver melhor:
$$ e^{i \,n \, \omega_0 t} =  e^{i \,n 2 \pi /T \, t} =  e^{i \, 2 \pi /(T/n) \, t} $$

Note que nesse sinal, para cada valor de $$ n $$, o sinal vai ter uma frequência múltipla de $$ \omega_0 $$ .
Ou seja, são todos possuem período $$ T $$ também, pois os sinais terão período dado por $$ (T/n) $$ , e $$ T $$ é múltiplo de $$ (T/n) $$ .
A esse conjunto de sinais, definido pela equação (*), dizemos que são um conjunto harmonicamente relacionado, e usaremos bastante em nosso estudo de séries de Fourier.

Nesse conjunto de equações, que formam o sinal, para:

$$ n = \pm 1 $$, dizemos se tratar do primeiro harmônico ou fundamentais

$$ n = \pm 2 $$, dizemos se tratar do segundo harmônico.

e assim sucessivamente.

Sabendo de período, harmônico e conjunto de equações harmonicamente relacionadas, podemos apresentar a tão famosa série de Fourier.

A série de Fourier

Definimos como série de Fourier uma combinação linear desse conjunto de equações harmonicamente relacionadas, e representaremos da forma:

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Ou seja, qualquer função periódica (como as trigonométricas) pode ser representada dessa forma.

Podemos dizer então, que uma função, como seno e cosseno, é uma combinação linear de exponenciais.

A genialidade por trás da série é que ela nos permite ver algumas funções e sinais, como de uma tangente por exemplo, de uma maneira diferente: através de exponenciais, e estas permitem um algebrismo mais fácil além de outras características que serão detalhadas em breve.

Por hora, precisamos focar em outro detalhe: descobrir os índices $$ a_n $$ , que são chamados de coeficientes da série de Fourier.

Para isso, multiplicaremos ambos os lados por $$ e^{-j k \omega_0 t} $$ e integrando ambos os lados no intervalo de um período.
Para resolver a integral, basta transformar a exponencial para a forma trigonométrica e integrar, que teremos o par de equações que define a serie de Fourier:

$$\begin{cases}
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t} \\

a_n = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt
\end{cases} $$

O coeficiente $$a_0$$ tem um valor especial, constante, dado por:
$$ a_0 = \frac{1}{T} \int_T x(t) dt  $$

e é chamado de nível dc e $$a_0$$ é o valor médio de x(t).

A série de Fourier não é apenas mais uma representação do sinal periódico. Se ela é tão famosa e usada,  devem existir razões, além da facilidade do algebrismo e análise gráfico do sinais.
É fácil encontrar na literatura, como no Oppenheim, a demonstração que os coeficiente da série de Fourier em uma combinação linear finita são os que minimizam o erro.

O que isso quer dizer?
Obviamente que não vamos representar um sinal com infinitos coeficientes (se existirem, muitas vezes boa parte deles são nulos). Então é comum representar o sinal usando somente alguns coeficientes.
O que é possível demonstrar é que, quanto mais coeficientes da série de Fourier nós utilizarmos, mais perfeita e mais próxima nossa representação é do sinal real.

- Exemplos

Vamos representar o sinal função: $$ f(x) = x $$

Em intervalos de valor $$2 \pi $$ :

A medida que formos adicionando mais coeficientes da série de Fourier, mais nosso sinal (em vermelho) irá se aproximar da função real, veja:

Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

O site do MIT fez um aplicativo em Java que mostra esse efeito:
http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.06/javademo/FourierSeries/
Você coloca a equação e escolhe o número de termos da série de Fourier que desejar, e vai ver a aproximação desenhada em cima da função real.

Autovalor e Autofunção de um sistema | Séries de Fourier

Vamos mostrar a importância dos números complexos em sistemas invariantes no tempo (LIT).

Usaremos a notação:

$$e^{s t}$$, para sinais de tempo contínuo

$$z^n$$, para sinais de tempo discreto

onde s e z são números complexos.

Em vez de falar o porque do uso de exponenciais em sistemas do tipo LIT, vamos mostrar o que ocorre quando um desses não números são entrada.

Seja x(t)= $$e^{s t}$$ a entrada e h(t) a resposta ao impulso de tal sistama LIT.

Da convolução, sabemos:

$$ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) x(t-\rho)\,d\rho $$

Fazendo as substituições com os nossos dados:

$$ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{s(t - \rho)} d\rho $$

$$ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{st} e^{s\rho} d\rho $$

$$ y(t) =  e^{st}  \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{-s\rho} d\rho $$

Vamos definifir a função:
$$A(s)= \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{-s\rho} d\rho $$

Do cálculo integral, por h(t) ser uma resposta ao impulso e que o módulo função exponencial é um número real, a integral converge.

Assim, a função A(s) existe, e é uma constante complexa que depende de s.

Podemos escrever a saída da seguinte formato:

$$ y(t) = A(s) e^{s t} $$

Aqui chegamos em uma importante conclusão, apenas olhando para a equação anterior:

A resposta do sistema para uma entrada exponencial $$ e^{s t} $$, é essa mesma entrada mudada de um fator A(s). Ou seja, ocorre uma mudança de amplitude.

De outra forma: quando a entrada é uma exponencial, a saída é a mesma exponencial multiplicada por um fator, A(s).

Notou a importância dos complexos como entrada de sistemas invariantes no tempo (LIT)?

A(s) é chamado de autovalor e o sinal é uma autofunção do sistema.

Conclusão importante: exponenciais complexas são autofunções de sistemas do tipo LIT.

Analogamente, para o caso discreto:

$$ x[n] = z^n $$

Definição de convolução:

$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] x[n - k] $$

Substituindo os valores:

$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{n - k} $$

$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{n - k} $$

$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^n z^{ - k} $$

$$ y[n] = z^n \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{-k} $$

Autovalor no caso discreto:

$$ A[z] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{-k} $$

Introdução: utilidade das séries de Fourier

• O que veremos nessa seção

A convolução, que nada mais é que uma soma que representa os sinais por meio da combinação linear de impulsos é um meio de representar sinais.

Com as séries de Fourier, veremos outros métodos de representar os sinais. Ou seja, é uma outra abordagem.

A base dessa nova visão continuará sendo a soma (lembre-se que integral também é uma soma, mas uma soma de partes infinitesimal), mas os sinais básicos que mais usaremos serão os exponenciais complexos.

Por hora, para conta do efeito de facilidade e entendimento, trataremos de sinais periódicos e de tempo discreto, que são as série de Fourier.

• Representar, representação, modo de ver...

Já reparou nisso? Por que se fala tanto em representar? Por que e para que outro modo de ver?

Muito simples: os fenômenos reais, do nosso dia a dia, são muito complexos.

O objetivo das ciências exatas é criar conceitos (como o de trigonometria e números complexos), e analisar os fenômenos reais e complexos através desses conceitos mais simples.

Ou seja, vamos pegar uma coisa complicada, e representar de uma maneira simples, de uma maneira que possamos entender, manusear e prever resultados.

Usaremos trigonometria, séries, periodicidade e números complexos para estudar e manipular os sinais da vida real, como verão.

Isso, na Física, já é um velho costume. E no nossa caso, Série de Fourier, foi estudo vários cientistas, como Bernoulli, Euler, Dirichlet e Fourier.

O nome do assunto se refere ao Fourier por ele ter sido o grande 'divulgador' pro trás da ideia de que um sinal periódico poderia ser representado por séries senoidais harmônicas.

Veja bem, não foi ideia dele e nem ele que provou isso ao pé da letra.

Mas sem dúvida, ele foi o mais envolvido. Na verdade, são poucos os casos em que um ser humano desenvolve algo de tamanha importância de maneira completa e sozinho.

O impacto do trabalho de Fourier foi tão grande, que é um dos mais usados em Física, Química, Matemática e quase todas as engenharias.

Sendo usado inclusive na modelagem de movimentos planetários, climatologia da terra e oceanografia.

Ao final dos estudos da série de Fourier, você terá uma ferramenta poderosa para fazer a análise e descrição dos mais diversos tipos de sinais.

http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier