Autovalor e Autofunção de um sistema | Séries de Fourier

Vamos mostrar a importância dos números complexos em sistemas invariantes no tempo (LIT).


Usaremos a notação:

$$e^{s t}$$, para sinais de tempo contínuo
$$z^n$$, para sinais de tempo discreto
onde s e z são números complexos.
Em vez de falar o porque do uso de exponenciais em sistemas do tipo LIT, vamos mostrar o que ocorre quando um desses não números são entrada.
Seja x(t)= $$e^{s t}$$ a entrada e h(t) a resposta ao impulso de tal sistama LIT.
Da convolução, sabemos:

$$ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) x(t-\rho)\,d\rho $$

Fazendo as substituições com os nossos dados:

$$ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{s(t - \rho)} d\rho $$

$$ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{st} e^{s\rho} d\rho $$

$$ y(t) =  e^{st}  \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{-s\rho} d\rho $$

Vamos definifir a função:
$$A(s)= \int_{-\infty}^{+\infty}h(\rho) e^{-s\rho} d\rho $$

Do cálculo integral, por h(t) ser uma resposta ao impulso e que o módulo função exponencial é um número real, a integral converge.
Assim, a função A(s) existe, e é uma constante complexa que depende de s.

Podemos escrever a saída da seguinte formato:
$$ y(t) = A(s) e^{s t} $$

Aqui chegamos em uma importante conclusão, apenas olhando para a equação anterior:
A resposta do sistema para uma entrada exponencial $$ e^{s t} $$, é essa mesma entrada mudada de um fator A(s). Ou seja, ocorre uma mudança de amplitude.

De outra forma: quando a entrada é uma exponencial, a saída é a mesma exponencial multiplicada por um fator, A(s).
Notou a importância dos complexos como entrada de sistemas invariantes no tempo (LIT)?

A(s) é chamado de autovalor e o sinal é uma autofunção do sistema.
Conclusão importante: exponenciais complexas são autofunções de sistemas do tipo LIT.

Analogamente, para o caso discreto:
$$ x[n] = z^n $$

Definição de convolução:
$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] x[n - k] $$

Substituindo os valores:
$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{n - k} $$

$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{n - k} $$

$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^n z^{ - k} $$

$$ y[n] = z^n \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{-k} $$

Autovalor no caso discreto:
$$ A[z] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k] z^{-k} $$

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