Propriedades da série de Fourier em sinais de tempo contínuo

Mostraremos aqui algumas propriedades que podem, e devem ser usadas, nas séries de Fourier onde o tempo é contínuo, pois evitam trabalho e cálculos desnecessários, visto que podemos simplificar e fazer algumas deduções.

Propriedade da Linearidade

Sejam:
$$A(x)$$ e $$B(x)$$
dois sinais periódicos de tempo $$T$$, cujos coeficientes da série de Fourier são
$$a_n$$ e $$b_n$$ .

Se o sinal:
$$C(x)$$
é dador por uma combinação linear dos sinais A(x) e B(x):
$$C(x) = k_1 A(x) + k_2 B(x) $$ , onde $$k_1$$ e $$k_2$$ são constantes
, os coeficientes da série de Fourier também o serão.

Isso quer dizer que, sejam:
$$c_n$$
os coeficientes da série de Fourier do sinal de C(x), eles podem ser representados por:

$$c_n = k_1 a_n + k_2 b_n $$

Propriedade da reflexividade do tempo

Refletir o tempo é fazer com que o tempo 't' receba os valores '-t'. É como se rebatéssemos o gráfico em relação ao eixo y.

Sabemos que a definição da série de Fourier é dada por:
$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Vamos ver o que acontece com o sinal quando ocorre a reflexão no tempo:
$$ x(-t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{-i \,n \omega_0 \, t}$$

Vamos chamar esse novo sinal, x(-t), de y(t) e '-n'  de 'k', para que y(t) fique na forma da série de Fourier:
$$ y(t)= \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k} e^{i \,k \omega_0 \, t}$$

Ou seja, quando refletimos o tempo refletimos também os índices.

Assim, se o sinal S(x) possui índices $$a_n$$
O sinal S(-x) terá índices $$a_{-n}$$

Isso é interessante. Mas importante mesmo é a relação com a paridade.
Se o sinal for par, ou seja:
$$ x(t) = x(-t) $$
$$ a_n = a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão pares!

E caso o sinal seja ímpar:
$$ x(t) = -x(-t) $$
$$ a_n = -a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão ímpares!

E qual a utilidade disto?
Ora, se souber $$a_n$$ , saberá $$a_{-n}$$ e não terá que fazer cálculos desses índices separados, à toa.
Portanto, antes de calcular os índices da série de Fourier para tempo contínuo, verifique a propriedade de reflexão no tempo. Assim, saberá a paridade dos coeficientes da série .

Deslocamento de tempo

Seja A(t) um sinal dado em função do tempo.
Deslocar o sinal em um valor de tempo $$t_0$$ significa analisar o seguinte sinal resultante:
$$A(t - t_0)$$

Se os coeficientes da série de Fourier do sinal A(t) são dados por:
$$ a_n = \frac{1}{T} \int_T A(t) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt$$

Então os coeficientes da série do sinal $$A(t - t_0)$$ serão dados por:
$$ a'_n = \frac{1}{T} \int_T A(t - t_0) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt$$

Como é possível notar pela fórmula acima, embora tenhamos deslocado o sinal, seu período continua sendo T.
O que faz sentido. Veja 'deslocamento' como um deslocamento físico mesmo. É como se você pegasse o sinal da função e simplesmente colocasse ele em outro local do plano cartesiano.
Vendo assim, é fácil ver a razão do período continuar sendo o mesmo.

Fazendo a substituição:
$$y = t - t_0$$

Isolando 't' e integrando em relação à y, chegamos a :
$$ a'_n = e^{-i \,n \omega_0 \, t_0} a_n$$

Ou seja, quando deslocamos um sinal de um tempo $$t_0$$
Estamos alterando seus coeficientes de um fator: $$e^{-i \,n \omega_0 \, t_0}$$
Note, porém, que esse fato tem módulo unitário.

Logo, deslocar um sinal no tempo não irá alterar o módulo dos coeficientes da série de Fourier.

Propriedade da série de Fourier: alterando a escala do tempo do sinal em um fator

Seja o sinal A(t) e um número positivo real k que será o fator.
Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:
$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Ao alterarmos a escala do tempo em um fator kA(kt) , também alteramos seu período, que agora é: 
$$\frac{T}{k}$$

Como a frequência fundamental é dada por:
$$ w_0 = \frac{2\pi}{T}$$

A nova frequência será:
$$w = \frac{2\pi}{\frac{T}{k}} = k w_0$$

Então, o novo sinal da série de Fourier será dado por:
$$ A(kt) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n k\omega_0 \, t}$$

Ou seja, os coeficientes $$a_n$$ permanecem inalterados. Porém a frequência do sinal mudou.

Aplicando o conjugado complexo

Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:
$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Aplicando o conjugado em ambos lados:
$$ A^{*}(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n^* e^{-i \,n \omega_0 \, t}$$

Fazendo:
$$k=-n$$

Temos:
$$ A^{*}(t) = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k}^* e^{i \,k \omega_0 \, t}$$

Logo, quando aplicamos o conjugado em uma série de Fourier, estamos aplicando o complexo conjugado em seus coeficientes e estamos também aplicando a propriedade da reflexão.

Caso o sinal seja real:
$$A(t) = A^*(t)$$
Então:
$$a_n=a^*_{-n}$$
$$a^*_n = a_{-n}$$
Chamamos essa última relação de simetria conjugada.


Com base nisso e na propriedade da reflexividade, é fácil mostrar que:

Caso o sinal seja real e par, os coeficientes da série de Fourier são reais e pares:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal par: $$ a_n = a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são reais: $$a_n = a^*_n $$



Caso o sinal seja real e ímpar, os coeficientes da série de Fourier são ímpares e imaginários:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal ímpar: $$ a_n = - a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são puramente imaginários: $$a_n = - a^*_n $$


Note também que, em qualquer dos casos, o módulo do coeficientes da série de Fourier permanecem inalterados quando aplicamos a propriedade da simetria conjugada.

Produto de Sinais

Sejam dois sinais de tempo contínuo, de mesmo período T: $$A(t)$$ e $$B(t)$$
com coeficientes da série de Fourier dados, respectivamente, por: $$a_n$$ e $$b_n$$

O n-ésimo coeficiente do produto: $$A(t) . B(t) $$ , que também possui período T, é dado por:
$$c_n = \sum_{k=-\infty}^{k=\infty} a_k . b_{n -k} $$

Essa relação não só parece como pode ser vista como uma soma de convolução discreta dos coeficientes das sequências de Fourier que representam sinais.
Outra forma de obter essa relação é simplesmente multiplicando as representações dos sinais A(t) e B(t) sob a forma de série de Fourier e rearranjando e agrupando seus termos.


A relação de Parseval

A relação de Parseval é famosa, e muito útil, porque relaciona diretamente o sinal com seus coeficientes e é obtida através do cálculo da potência média de um intervalo de período do sinal, resultando na expressão de Parseval:
$$ \frac{1}{T} \int_T \left\vert A(t) \right\vert^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} \left\vert a_n \right\vert^2$$

Onde A(t) é o sinal de tempo contínuo de período T, de coeficientes da série de Fourier $$a_n$$.
Um detalhe importante e que torna a equação de Parseval bem abrangente é o fato que ela é válida para qualquer sinal periódico, visto que expressão foi obtida pelo cálculo da potência média de um sinal periódico qualquer.

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