Propriedade da Linearidade
Sejam:
$$A(x)$$ e $$B(x)$$
dois sinais periódicos de tempo $$T$$, cujos coeficientes da série de Fourier são
$$a_n$$ e $$b_n$$ .
Se o sinal:
$$C(x)$$
é dador por uma combinação linear dos sinais A(x) e B(x):
$$C(x) = k_1 A(x) + k_2 B(x) $$ , onde $$k_1$$ e $$k_2$$ são constantes
, os coeficientes da série de Fourier também o serão.
Isso quer dizer que, sejam:
$$c_n$$
os coeficientes da série de Fourier do sinal de C(x), eles podem ser representados por:
$$c_n = k_1 a_n + k_2 b_n $$
$$A(x)$$ e $$B(x)$$
dois sinais periódicos de tempo $$T$$, cujos coeficientes da série de Fourier são
$$a_n$$ e $$b_n$$ .
Se o sinal:
$$C(x)$$
é dador por uma combinação linear dos sinais A(x) e B(x):
$$C(x) = k_1 A(x) + k_2 B(x) $$ , onde $$k_1$$ e $$k_2$$ são constantes
, os coeficientes da série de Fourier também o serão.
Isso quer dizer que, sejam:
$$c_n$$
os coeficientes da série de Fourier do sinal de C(x), eles podem ser representados por:
$$c_n = k_1 a_n + k_2 b_n $$
Propriedade da reflexividade do tempo
Refletir o tempo é fazer com que o tempo 't' receba os valores '-t'. É como se rebatéssemos o gráfico em relação ao eixo y.
Sabemos que a definição da série de Fourier é dada por:
Sabemos que a definição da série de Fourier é dada por:
$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$
Vamos ver o que acontece com o sinal quando ocorre a reflexão no tempo:
$$ x(-t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{-i \,n \omega_0 \, t}$$
Vamos chamar esse novo sinal, x(-t), de y(t) e '-n' de 'k', para que y(t) fique na forma da série de Fourier:
$$ y(t)= \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k} e^{i \,k \omega_0 \, t}$$
Ou seja, quando refletimos o tempo refletimos também os índices.
Assim, se o sinal S(x) possui índices $$a_n$$
O sinal S(-x) terá índices $$a_{-n}$$
Isso é interessante. Mas importante mesmo é a relação com a paridade.
Se o sinal for par, ou seja:
$$ x(t) = x(-t) $$
$$ a_n = a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão pares!
E caso o sinal seja ímpar:
$$ x(t) = -x(-t) $$
$$ a_n = -a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão ímpares!
E qual a utilidade disto?
Ora, se souber $$a_n$$ , saberá $$a_{-n}$$ e não terá que fazer cálculos desses índices separados, à toa.
Portanto, antes de calcular os índices da série de Fourier para tempo contínuo, verifique a propriedade de reflexão no tempo. Assim, saberá a paridade dos coeficientes da série .
Ou seja, quando refletimos o tempo refletimos também os índices.
Assim, se o sinal S(x) possui índices $$a_n$$
O sinal S(-x) terá índices $$a_{-n}$$
Isso é interessante. Mas importante mesmo é a relação com a paridade.
Se o sinal for par, ou seja:
$$ x(t) = x(-t) $$
$$ a_n = a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão pares!
E caso o sinal seja ímpar:
$$ x(t) = -x(-t) $$
$$ a_n = -a_{-n}$$
Os coeficientes da série de Fourier também serão ímpares!
E qual a utilidade disto?
Ora, se souber $$a_n$$ , saberá $$a_{-n}$$ e não terá que fazer cálculos desses índices separados, à toa.
Portanto, antes de calcular os índices da série de Fourier para tempo contínuo, verifique a propriedade de reflexão no tempo. Assim, saberá a paridade dos coeficientes da série .
Deslocamento de tempo
Seja A(t) um sinal dado em função do tempo.Deslocar o sinal em um valor de tempo $$t_0$$ significa analisar o seguinte sinal resultante:
$$A(t - t_0)$$
Se os coeficientes da série de Fourier do sinal A(t) são dados por:
$$ a_n = \frac{1}{T} \int_T A(t) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt$$
Então os coeficientes da série do sinal $$A(t - t_0)$$ serão dados por:
$$ a'_n = \frac{1}{T} \int_T A(t - t_0) e^{-i \,n \omega_0 \, t} dt$$
Como é possível notar pela fórmula acima, embora tenhamos deslocado o sinal, seu período continua sendo T.
O que faz sentido. Veja 'deslocamento' como um deslocamento físico mesmo. É como se você pegasse o sinal da função e simplesmente colocasse ele em outro local do plano cartesiano.
Vendo assim, é fácil ver a razão do período continuar sendo o mesmo.
Fazendo a substituição:
$$y = t - t_0$$
Isolando 't' e integrando em relação à y, chegamos a :
$$ a'_n = e^{-i \,n \omega_0 \, t_0} a_n$$
Ou seja, quando deslocamos um sinal de um tempo $$t_0$$
Estamos alterando seus coeficientes de um fator: $$e^{-i \,n \omega_0 \, t_0}$$
Note, porém, que esse fato tem módulo unitário.
Logo, deslocar um sinal no tempo não irá alterar o módulo dos coeficientes da série de Fourier.
Propriedade da série de Fourier: alterando a escala do tempo do sinal em um fator
Seja o sinal A(t) e um número positivo real k que será o fator.
Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:
$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$
Ao alterarmos a escala do tempo em um fator k, A(kt) , também alteramos seu período, que agora é:
$$\frac{T}{k}$$
Como a frequência fundamental é dada por:
$$ w_0 = \frac{2\pi}{T}$$
A nova frequência será:
$$w = \frac{2\pi}{\frac{T}{k}} = k w_0$$
Então, o novo sinal da série de Fourier será dado por:
$$ A(kt) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n k\omega_0 \, t}$$
Ou seja, os coeficientes $$a_n$$ permanecem inalterados. Porém a frequência do sinal mudou.
Aplicando o conjugado complexo
Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:
$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$
Aplicando o conjugado em ambos lados:
Aplicando o conjugado em ambos lados:
$$ A^{*}(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n^* e^{-i \,n \omega_0 \, t}$$
Fazendo:
$$k=-n$$
Temos:
$$ A^{*}(t) = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k}^* e^{i \,k \omega_0 \, t}$$
Logo, quando aplicamos o conjugado em uma série de Fourier, estamos aplicando o complexo conjugado em seus coeficientes e estamos também aplicando a propriedade da reflexão.
Caso o sinal seja real:
$$A(t) = A^*(t)$$
Então:
$$a_n=a^*_{-n}$$
$$a^*_n = a_{-n}$$
Chamamos essa última relação de simetria conjugada.
Com base nisso e na propriedade da reflexividade, é fácil mostrar que:
Caso o sinal seja real e par, os coeficientes da série de Fourier são reais e pares:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal par: $$ a_n = a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são reais: $$a_n = a^*_n $$
Caso o sinal seja real e ímpar, os coeficientes da série de Fourier são ímpares e imaginários:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal ímpar: $$ a_n = - a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são puramente imaginários: $$a_n = - a^*_n $$
Note também que, em qualquer dos casos, o módulo do coeficientes da série de Fourier permanecem inalterados quando aplicamos a propriedade da simetria conjugada.
Fazendo:
$$k=-n$$
Temos:
$$ A^{*}(t) = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k}^* e^{i \,k \omega_0 \, t}$$
Logo, quando aplicamos o conjugado em uma série de Fourier, estamos aplicando o complexo conjugado em seus coeficientes e estamos também aplicando a propriedade da reflexão.
Caso o sinal seja real:
$$A(t) = A^*(t)$$
Então:
$$a_n=a^*_{-n}$$
$$a^*_n = a_{-n}$$
Chamamos essa última relação de simetria conjugada.
Com base nisso e na propriedade da reflexividade, é fácil mostrar que:
Caso o sinal seja real e par, os coeficientes da série de Fourier são reais e pares:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal par: $$ a_n = a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são reais: $$a_n = a^*_n $$
Caso o sinal seja real e ímpar, os coeficientes da série de Fourier são ímpares e imaginários:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal ímpar: $$ a_n = - a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são puramente imaginários: $$a_n = - a^*_n $$
Note também que, em qualquer dos casos, o módulo do coeficientes da série de Fourier permanecem inalterados quando aplicamos a propriedade da simetria conjugada.
Produto de Sinais
Sejam dois sinais de tempo contínuo, de mesmo período T: $$A(t)$$ e $$B(t)$$
com coeficientes da série de Fourier dados, respectivamente, por: $$a_n$$ e $$b_n$$
O n-ésimo coeficiente do produto: $$A(t) . B(t) $$ , que também possui período T, é dado por:
$$c_n = \sum_{k=-\infty}^{k=\infty} a_k . b_{n -k} $$
Essa relação não só parece como pode ser vista como uma soma de convolução discreta dos coeficientes das sequências de Fourier que representam sinais.
Outra forma de obter essa relação é simplesmente multiplicando as representações dos sinais A(t) e B(t) sob a forma de série de Fourier e rearranjando e agrupando seus termos.
A relação de Parseval
A relação de Parseval é famosa, e muito útil, porque relaciona diretamente o sinal com seus coeficientes e é obtida através do cálculo da potência média de um intervalo de período do sinal, resultando na expressão de Parseval:
$$ \frac{1}{T} \int_T \left\vert A(t) \right\vert^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} \left\vert a_n \right\vert^2$$
Onde A(t) é o sinal de tempo contínuo de período T, de coeficientes da série de Fourier $$a_n$$.
Um detalhe importante e que torna a equação de Parseval bem abrangente é o fato que ela é válida para qualquer sinal periódico, visto que expressão foi obtida pelo cálculo da potência média de um sinal periódico qualquer.
Um detalhe importante e que torna a equação de Parseval bem abrangente é o fato que ela é válida para qualquer sinal periódico, visto que expressão foi obtida pelo cálculo da potência média de um sinal periódico qualquer.
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