Condições de Dirichlet | Séries de Fourier

Nem toda função periódica pode ser representada pela série de Fourier.
O rigor matemático impõe algumas condições e critérios para que possamos usar a tão famosa e útil série, e nem mesmo o próprio Fourier foi capaz de desenvolver as condições em que as séries eram válidas.

Houveram muitas discussões, principalmente envolvendo a questão das descontinuidades.
Mas coube ao matemático alemão Dirichlet a formalização das condições:



Primeira condição:
"O sinal deve ser absolutamente integrável". 

Isto é, se o sinal é s(t):
Então a integral
$$\int_T |s(t)| dt $$
deve existir.

Se tal integral, que representa o sinal, deve existir, é fácil concluir que os coeficientes que representam a série de Fourier também devem.
Trocando em miúdos: tanto a integral como os coeficientes não tendem ao infinito.

Segunda condição:
Em um intervalo qualquer sinal, não deve existir infinitos pontos de máximo e mínimo.

Por exemplo, funções trigonométricas do tipo:
$$ \sin{(k/t)} $$
Para k inteiro, no intervalo t de ente 0 e 1. Pois nesse intervalo a função varia entre infinitos valores de máximo e mínimo e não há como representar tal função usando os coeficientes da série de Fourier.
Veja como a função se comporta quando se aproxima de 0, para:
$$ f(t) = \sin{(\pi/t)} $$

Veja como se faz no Wolfram Alpha: www.wolframalpha.com/input/?i=sin(pi/t),+from+t=0+to+1


Terceira Condição:
"Em um intervalo finito qualquer do sinal, não devem existir infinitas descontinuidades."

Funções desse tipo não são 'normais' na natureza. São, geralmente, casos de estudo teórico e é intuitivo entender o motivo de função com infinitas descontinuações (ou seja, saltos no gráfico, sem motivos aparente) não serem possíveis de serem representadas pela série de Fourier.
Embora seja possível utilizar a série de Fourier em sinais com número finito de descontinuidade, não é possível em sinais mais 'aleatórios', com infinitos casos de singularidades.
Essa incerteza no cálculo de descontinuidades infinitas se deve ao fato de que a equação da série de Fourier tende para a média dos valores na borda da descontinuidade, não sendo possível garantir tal convergência em casos de infinitas descontinuidades.


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